趣题:构造点集使得每条直线上的点都一样多

我们很容易在平面内放置很多点,使得任意两点确定的直线都只经过这两个点——你需要做的,仅仅是让任意三点都不共线就行了。那么,能否在平面内放置若干个点,使得任意两点确定的直线总是恰好经过三个点呢?更一般地,对于任意正整数 n > 2 ,能否在平面内放置若干个点,使得任意两点确定的直线总是恰好经过 n 个点呢?当然,我们要排除掉所有点都共线这种平凡的情况。

记得我很小的时候就想过这个问题。小时候有一种经典的智力题,大致就是叫你把多少多少棵树种成多少多少行,使得每行都有多少多少棵树。比方说,如何把 9 棵树种成 10 行,使得每行都有 3 棵树?答案如下图所示。但请注意,其实图中还有不少直线上只有 2 棵树,比如那条蓝色的虚线。

当时,我就曾经想过,如果树苗足够多,能否让每条可能的直线上都种有 3 棵树呢?于是,我没事儿就来尝试一番,但每一次都以失败告终。后来我才知道,这是不可能的。根据 Sylvester–Gallai 定理,在任意一个有限点集中,一定有一条直线恰好只经过两个点,除非所有的点都是共线的。这个定理有一个非常漂亮的证明,这里不得不提。假设存在某个点集,满足任意两点确定的直线上都存在其他的点。画出所有可能的直线,作出每一个点到每一条直线的垂线段,然后找出所有这些垂线段中最短的一条。不妨假设这条最短的垂线段是点 P 到某条直线 l 的垂线段,垂足点记作 H 。由假设, l 上至少有三个点,因此至少有两个点分布在垂足 H 的同一侧(允许和垂足重合)。不妨把这两个点记作 R 、 Q ,如下图所示。由于我们画出了所有可能的直线,因此 P 、 R 两点之间也有一条直线;此时, Q 到 PR 的垂线段就是更短的垂线段,于是产生矛盾。要想避免这样的矛盾,唯一的方法就是,所有的垂线段长度都为 0 ,换句话说我们根本作不出所谓的垂线段。这也就是所有点全都共线的情况。

我们刚才证明了,在一个点集中,只经过两点的直线一定存在,除非所有点全都共线;因此,当 n > 2 时,我们自然就无法让每条可能的直线上都有 n 个点,除非所有点全都共线。

1971 年,U. S. R. Murty 提出了这么一个问题:如果允许有重合的点,那么刚才的问题有解吗?答案是肯定的。如下图,每个写有数字 1 的圆盘表示一个点,那个写有数字 4 的圆盘则表示一个四重点。你会发现,每条可能的直线上都经过了恰好 5 个点。类似地,把 n 个点摆成一条直线,再在直线外放置一个 n – 1 重点,那么每条可能的直线都会经过恰好 n 个点。另外,对于一个合法的解来说,如果把每个点的重数都扩大到原来的 k 倍,所得图形自然也满足要求;但我们认为,它和原图形是本质上相同的解。

我们今天的问题就是: Murty 的问题还有什么本质上不同的解吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

答案仍然是肯定的,如下图所示。容易看出,每条可能的直线上都有恰好 4 个点。利用刚才提到的翻倍法修改每个点的重数,还会得到又一批本质相同的解。

有趣的是, Murty 再也找不到其他的解了。他猜测,这个问题确实没有别的答案了。换句话说, Murty 认为,如果平面内有若干个点,每个点都有一个权重,且任意两点确定的直线所经过的点的权重之和都相等,则可能的情况只有以下四种:

  1. 点集中的任意三点都不共线;
  2. 所有点都在一条直线上;
  3. 除一点外,其余所有点都在一条直线上;
  4. 上图所示的情况。

2007 年, Eyal Ackerman 、 Kevin Buchin 、 Christian Knauer 、 Rom Pinchasi 和 Günter Rote 证明了, Murty 的猜想是正确的。你可以在这里看到他们的论文。

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