一个与矩形剖分有关的命题(三):诡异的微积分证明

如果一个矩形可以分割为若干个小矩形,每个小矩形都有至少一边为整数长,则原矩形同样有至少一个长度为整数的边。换句话说,用至少有一边的长度是整数的小矩形拼成一个大矩形,大矩形也有至少一条整数长的边。

    在这个命题的所有常见的证明方法中,我总觉得这个证明是最诡异的。真不知道第一个想出这个证明方法的人是怎么思考出来的。把矩形放在平面直角坐标系上,左下角对齐原点(0,0)。考虑函数e^(2 · pi · i · (x+y))在每个小矩形上的积分(展开并分离变量分别积分):
    

    显然,这个式子等于0当且仅当(x1-x0)和(y1-y0)中至少一个是整数(也即至少有一边的长度是整数)。考虑函数在整个大矩形上的积分,它可以拆成各个小矩形上的积分的和,因此结果仍然是0。这说明,大矩形至少有一条整数长的边。

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