下面这个问题出自The American Mathematical Monthly (Vol.75, No.3.(Mar.,1968), pp.299-301)：
    给定一个有限长的非负整数序列。一次操作是指把数列中的每个数替换为它右边比它小的数的个数。对该数列不断进行这个操作。证明总有一个时刻该数列将不再发生改变（即此时每个数都恰好等于它右边比它小的数的个数）。

    下面是一个实际的例子。这个数列在第四次操作之后进入循环，不再发生改变。
     5, 44, 19,  6, 49,  1, 27, 19, 50, 20
     1,  6,  2,  1,  4,  0,  2,  0,  1,  0
     3,  8,  5,  3,  5,  0,  3,  0,  1,  0
     4,  8,  6,  4,  5,  0,  3,  0,  1,  0
     5,  8,  7,  5,  5,  0,  3,  0,  1,  0
     5,  8,  7,  5,  5,  0,  3,  0,  1,  0
     ....................

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    证明过程非常简单，你只需要注意到：前面的数永远不会影响到后面的序列的变化。因此我们想到了用数学归纳法。当序列长度n=1时，一次操作后这个数将永远变成0，因此n=1时结论显然成立。假设当n=k时结论成立，我们证明n=k+1时结论也成立。注意到序列的第一个数不影响后面的数的变化，由我们的假设，后面长度为k的子序列(A₂, A₃, ..., A_k+1)将在若干次操作后停止变化。假设此时整个序列为(A₁', A₂', ..., A_k+1')。对这个序列再做一次变换我们得到(A₁'', A₂', ..., A_k+1')。如果A₁''=A₁'，则整个序列已经不再变化了，我们不必再多考虑。如果A₁''>A₁'，即最后这一次变换让第一个数变大了，这样的话后面比它小的数将增多，于是第一个数将越变越大；但第一个数再大也不可能超过k，因此它增大到一定时候必然会停下来，此时整个序列就不再变化了。类似地，如果A₁''<A₁'，那么第一个数将越变越小，但它的下界为0，因此总有一个时刻停下来，此时整个序列也就恒定了。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/RightReplacement.shtml