趣题：能否在等边三角形点阵中画一个正方形？
icon2 Brain Storm | icon4 2011-08-08 21:58| icon337 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    这是一个非常有趣的问题：能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点，使得这四个点恰好构成一个正方形？这个问题有一个非常简单巧妙的解法，你能想到吗？

      


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      

    答案：不可能。为了证明这一点，首先注意到，如果选定三角形点阵中任意两个不同的点，则以这两个点为顶点作等边三角形，所得的第三个顶点也一定在点阵中。这是因为，以任意一点为中心，将整个平面旋转 60 度，新的点阵与原来的点阵仍然是重合的。等边三角形的第三个顶点，其实可以看作是已知两点中的其中一点绕另一点旋转 60 度所得的，自然也就还在点阵中了。

 
      

    下面，假设点阵中存在正方形，则我们一定能找到一个最小的正方形。以正方形的每条边为边，向内作等边三角形，所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而，这四个新的顶点将会构成一个更小的正方形，于是产生矛盾。所以，我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。

 
题目来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/DavidRadcliffe.shtml
大家有什么其他的证明方法吗？

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37 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2011-08-08 22:04 | Ians.fb 说：

    抢到沙发了

  • 楼层: 板凳 | 2011-08-08 22:10 | 山子 说：

    这证明真是不好想

  • 楼层: 地毯 | 2011-08-08 22:16 | Ians.fb 说：

    似乎可以构成的矩形一边是有理数，一边无理数？

  • 楼层: 地板 | 2011-08-08 22:19 | Denny 说：

    佔個位子

  • 楼层: 地下室 | 2011-08-08 22:24 | Ians.fb 说：

    刚才不小心点了提交，继续说：如果以一个有理数为矩形的一边，做垂直的话可以发现，另一边一定是几个平行四边形对角线构成的，如果是以无理数为一边（平行四边形对角线连起来），同理作垂直。。。然后矩形两边就不会相等，也就没有正方形了。。。
    PS：说错了不要喷我，我才初中。。。

  • 楼层: 地基 | 2011-08-08 23:36 | 孕妇吃什么 说：

    虚心学习中。。

  • 楼层: 地壳 | 2011-08-09 0:02 | laishao_yuan 说：

    请matrix67仔细看,,,这是一个不一样但类似的证明
    下面，假设点阵中存在正方形，则我们一定能找到一个最【大】正方形。以正方形的每条边为边，向【外】作等边三角形，所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而，这四个新的顶点将会构成一个更【大】的正方形，于是产生矛盾。所以，我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。

  • 楼层: 地幔 | 2011-08-09 0:19 | cartman 说：

    算面积。。

  • 楼层: 地核 | 2011-08-09 2:06 | chens 说：

    证明（向量法）：
    在点阵中随便选定一点作为可成之正方形的一个顶点，以该点为原点确定三个单位向量，在直角坐标系中这三个向量的方向分别是0度，60度和120度，若想表示出一个正方形这三个单位向量已经足够用了。这三个向量分别标志为a,b,c；再设出四个整数m,n,k,d。
    用这些量表示出两个直角边为：（ma+nb）和（kc+db），
    并且满足（ma+nb）^2=（kc+db）^2 （1）；
    而对角线（或角平分线）应该表示为（ma+nb+kc+db），
    并且满足2*（ma+nb）^2 =（ma+nb+kc+db）^2 （2）；
    由于上面的式子（1）和（2）都是同一组量表示的等式，故两式相减应该为零，而对（1）式两边加上个（ma+nb）^2后很明显就能看出两式相减后不可能为零，故做不出任何正方形。
    证毕。

  • 楼层: 10楼 | 2011-08-09 8:28 | 幻风 说：

    没看懂ls想表达什么……
    同样是矢量，随便选个点做原点，指向相邻60°两个点作为基e1,e2，那么平面上所有可选点将是a*e1+b*e2的形式，a,b为整数。假如有这么个正方形，那么由对称性可把一个顶点放到原点上，然后另一个点设为a*e1+b*e2，转90°应该是a*e3+b*e4，e3和e4是e1和e2转了90°的结果，e3=(e2-1/2 e1)*2/sqrt(3),e4=(e1+e2)/2，很明显不管ab是多少转出来都不会是整数，所以不可能……

  • 楼层: 11楼 | 2011-08-09 10:20 | NP_Prob 说：

    地壳仔细看，这是个无限大网络，假设存在一个最大的正方形显然不对。。。

  • 楼层: 12楼 | 2011-08-09 10:27 | iwtctw 说：

    那如果这个点阵是分形呢？这样这个证明方法是没用的～

  • 楼层: 12a楼 | 2011-08-09 10:53 | binbin 说：

    则我们一定能找到一个最小的正方形
    真的吗？需要证明啊

  • 楼层: 14楼 | 2011-08-09 10:59 | binbin 说：

    按照上面证明里的构造方法，如果存在一个正方形，就可以得到一个正方形序列，每一个正方形边长是前一个的(√3 - 1)/√2，也就是说这个正方形序列的边长趋于0，而正方形边长不能小于等边三角形的边长，矛盾

    我觉得这样说的话清楚一些

  • 楼层: 15楼 | 2011-08-09 12:40 | hcl67 说：

    地核: 平面上2个就能构成基了，这边a,b,c三个向量其实有a+c=b的问题，不是基的话，也就没有唯一表出造成的矛盾了。

  • 楼层: 16楼 | 2011-08-09 12:41 | Leo 说：

    先假设存在，然后由最小的构造出更小的从而得出矛盾，很经典的证明思想啊（不过我是想不到了）

    ps:最近在wiki上搜了一下matrix67结果。。。

  • 楼层: 17楼 | 2011-08-09 12:47 | chens 说：

    地核证法不清，补充如下
    m,n k,d为非负整数，a=(-1/2,sq(3)/2),b=(1/2,sqrt(3)/2),c=(1,0);
    若想构成直角边，需满足：
    (ma+nb)(kc+db)=0;(ma+nb)^2=(kc+db)^2;
    代入坐标值得：
    md-mk+nk+2nd=0;
    n^2+nm+m^2-d^2-dk-k^2=0;
    若能做出正方形，上两式需同时成立，化简变形得：
    sqrt(3)*m=k+2d
    上式在m,n,k,d取非负整数时无法成立，得证。

  • 楼层: 18楼 | 2011-08-09 16:27 | 小骆驼商队 说：

    观察就能看出来吧，不管怎么选正方形的顶点，肯定有一条边是整数，另一条边是根号3（等边三角形的高）的倍数，这两个数不可能相等，所以不可能做出正方形。

  • 楼层: 19楼 | 2011-08-09 16:31 | 小骆驼商队 说：

    啊，我错了，我看错题目了，抱歉 o(╯□╰)o

  • 楼层: 20楼 | 2011-08-09 20:46 | 放艾一条生路 说：

    很美的证明！

  • 楼层: 21楼 | 2011-08-09 23:17 | 正和 说：

    假定存在这样的正方形，以一个角点为原点，以三角点阵的一条网线为实轴，显然，正方形另外三个顶点的复坐标都形如p+iq*sqrt(3),其中p、q均为有理数，故实部为有理数。但因为是正方形，其中一个点的坐标又必为另一点坐标乘以i，则该点又有形式ip+q*sqrt(3)，此形式实部为无理数。矛盾。
    当然，此证明是蛮干。

  • 楼层: 22楼 | 2011-08-09 23:22 | 正和 说：

    以任一条网格线为实轴，显然所有点的复坐标均形如p+iq*sqrt(3)，即实部为有理数。但如果存在正方形，则必有一点形如（p+iq*sqrt(3)）*i，实部为无理数，矛盾。

  • 楼层: 23楼 | 2011-08-10 0:49 | ray 说：

    复数处理旋转果然方便

  • 楼层: 24楼 | 2011-08-10 17:17 | PS 说：

    内牛满面地看见了无穷递降法！

  • 楼层: 25楼 | 2011-08-10 17:19 | PS 说：

    无穷递降法太妙了！

  • 楼层: 26楼 | 2011-08-11 14:52 | Beana 说：

    地壳不对啊

  • 楼层: 27楼 | 2011-08-13 17:28 | 浅栖 说：

    无语。。。

  • 楼层: 28楼 | 2011-08-14 1:29 | xxxxxxxx 说：

    话说，正方形点阵（=-=这个词，想不起来更好的说法于是看起来有点傻。。。）中能否画一个正五边形？

  • 楼层: 29楼 | 2011-08-14 12:13 | wesuixi 说：

    正方形点阵（格点）也画不出正三角形。。。

  • 楼层: 30楼 | 2011-08-14 16:24 | hahaa 说：

    武汉团购　http://www.365rice.com

  • 楼层: 31楼 | 2011-08-21 11:08 | Belanov 说：

    顺着Cartman的想法往下说。。
    假如是正方形，一方面面积肯定是整数（边长为sqrt（a^2+b^2+ab）），另一方面面积肯定是三角形的整数倍（Pick定理），导出矛盾。。

  • 楼层: 32楼 | 2011-08-30 16:55 | maths菜鸟 说：

    nice啊

  • 楼层: 33楼 | 2011-09-16 15:19 | radioshack cycling jersey 说：

    哈哈 我要向博主好好学习学习！

  • 楼层: 34楼 | 2011-11-19 2:28 | cleverhack 说：

    假设有正方形，那么他是有n个菱形的对角边 = x个菱形边组成，由于n/x=根号3，是无限循环小数，即n和x不可能同时为整数，所以假设失败。

  • 楼层: 35楼 | 2012-03-04 0:59 | 人 说：

    wow,原來這個題目已經存在了
    我還以為是我的自編題咧...
    我是先假設存在
    然後做垂直畫成商高定理證明圖那個樣子(正方形中正方形那個)
    因為外面那個正方形的長寬比不可能是有理數比無理數
    所以矛盾,Q.E.D.

  • 楼层: 36楼 | 2012-03-23 16:08 | 冰淇淋机 说：

    好啊 高手

  • 楼层: 37楼 | 2012-12-13 13:47 | cervelo 说：

    选定一点作为可成之正方形的一个顶点，以该点为原点确定三个单位向量，在直角坐标系中这三个向量的方向分别是0度，60度和120度，若想表示出一个正方形这三个单位向量已经足够用了

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