趣题:七圆定理 一个非常漂亮的结论

  
    给定一个大圆C,里面的六个小圆均内切于圆C。如果这六个小圆中每相邻两个小圆均外切,则连接相对的内切点所成的三条线段共点。
    这是一个非常漂亮的结论。它的证明比较复杂。如果你能独立想出来的话,你就牛B了。大家不妨来挑战一下。

      
    Stanley Rabinowitz于1975给出了一个简单的初等证明。证明的关键在于下面的这个引理:圆周上有A、B、C、D、E、F六点,线段AD、BE、CF共点当且仅当AB·CD·EF=BC·DE·FA。
    引理的证明其实很简单。注意到圆周角∠CBE和∠CFE相等,圆周角∠BCF和∠BEF相等,于是△CPB∽△EPF。类似地,每一组相对的三角形都相似。于是,我们有:

  AB/DE = PA/PE
  CD/FA = PC/PA
  EF/BC = PF/PB
  PC/PE = PB/PF

    等式左边右边分别乘起来,结论也就证到了。
    引理的充分性也是类似的。假设AB·CD·EF=BC·DE·FA但三线不共点,令某两条线段(比如BE和CF)的交点为P,延长AP交圆于X,则有AB·CX·EF=BC·XE·FA,两式一比较我们就发现CX/XE=CD/DE,那只有可能是点X与点D重合。

    下面我们的任务就简单了:假如已知圆C的半径为R,圆P和圆Q外切且分别与圆C内切,半径分别为p和q,我们需要想办法求出线段AB的长度。

  
    延长AM交圆C于D,延长BM交圆C于E。△ACD和△APM都是等腰三角形,且有一个公共角∠A,因此这两个三角形相似,从而推出CD∥MP;同理,CE∥MQ。但PMQ在一条直线上,因此DCE也是一条直线。注意到圆周角∠EBA=∠EDA,且∠BAD=∠BED。于是我们发现△ABM和△EDM也是相似的,即AB/DE=AM/EM=BM/DM。但DE等于2R,于是有:
  AB/2R · AB/2R
= AM/EM · BM/DM
= AM/DM · BM/EM
= AP/CP · BQ/CQ
= p(R – p) · q(R – q)

    现在,把这个结论同时运用到六对外切圆上。假如六个圆与圆C的切点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6,则有:
   (A1A2 · A3A4 · A5A6)^2
=  64R^6 · r1(R-r1)·r2(R-r2)·r3(R-r3)·r4(R-r4)·r5(R-r5)·r6(R-r6)
=  (A2A3 · A4A5 · A6A1)^2
    那么A1A2·A3A4·A5A6=A2A3·A4A5·A6A1,由前面的引理我们就知道了A1A4、A2A5、A3A6三线共点。

来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SevenCirclesTheorem.shtml

16 条评论

  • ping

    您居然半夜来更新blog。。牛啊!!

    我居然是沙发…郁闷~~

    发的好东西,很有意思

    回复:您居然半夜来抢沙发,牛啊!

  • cjc

    在吴文俊的《力学在几何中的一些运用》里有更简单更普遍的证明方法。

  • Mr.Roach

    只要证明其中两条线段的焦点一定在第三条线段上即可。
    用射影几何,把两条线段的焦点射到圆心上,然后就好推了。
    我觉得是这样,不保证对……

  • dailiangren

    结论如此美妙,推导却如此枯燥,这样不好不好[smile]

  • zqy

    [i]引理证明:[/i]
    对三角形ACE使用角元CEVA定理,则AD,CF,BE交于一点等价于
    sin<CAD * sin<AEB * sin<ECF = sin<EAD * sin<ACF * sin<CEB  (**)
    在圆中使用正弦定理,则(**)式等价于
    CD*AB*EF=ED*AF*BC.    QED.
    大家发表长篇大论请备份,不然验证码一错就全没了。

  • zqy

    然后就是29届IMO预选题的内容了。
    可使用反演变换证明,
    将其中一个大圆和一个小圆变成一对平行直线,接下来代代公式就可以了。

  • henhao

    可老了

  • dahe_1984

    枯燥[film]

  • rgt

    6个点那个引理曾经是我们的训练题~

  • hetong_007

    唉……自己做不出来……

  • 对酒当歌

    请问 cjc , 哪里可以找到吴文俊的《力学在几何中的一些运用》?

  • 欧龙崎

    好漂亮的结论。

  • 山抹微云

    在圆较多,和直线较少的情况下,可以考虑用反演变换

  • cleverdie

    同意六楼的看法,想必也是数学竞赛的同志,推荐Matrix67研究反演变换,在多元相切以及圆锥曲线相切的问题上有神效.
    经典教程有单墫翻译的《近代欧式几何》,叶中豪先生平面几何水平也是相当高,小小的意见,同时想起了学习平面几何的时光……

  • 野兽

    博主好
    最近正好对一类似的问题感兴趣 不知能否指点一二
    平面上有m个三三相切的圆 圆心需要满足怎样的条件
    能不能用简单的关系式表达?
    可见http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon,board,math,reid,1291637739.html

  • cervelo jersey

    哎 我是做不来 太难了。

发表评论

  +  62  =  64