平面几何趣题:三角形中的四点共圆

        
    任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点,令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD作垂线,垂足分别为P、Q。证明H、P、M、Q四点共圆。
    证明过程不复杂,几句话就说完了。但如果你能独立想出证明过程来的话也不简单。继续看下去前不妨先试试看。

        
    结论看起来似乎很神奇,但证明过程却并没有什么很特别的地方。
    为了说明四点共圆,我们下面说明圆周角∠HQP=∠HMP。首先我们证明,∠HQP=∠ACB。由于∠AHC=∠AQC=90°,因此A、H、Q、C四点共圆,于是圆周角∠HQP=∠ACB。然后我们证明,∠ACB=∠HMP。延长BP后你会发现,P是BR的中点(AP既是角平分线又是垂线,等腰三角形三线合一),而M是BC的中点,于是PM∥RC,当然就有∠ACB=∠HMP。

题目来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BalticDarij1.shtml
平面几何真好玩啊……怀念一下初中的美好时光。

13 条评论

  • Satily

    Stool~~~~[razz]

  • Harok

    Floor[music]

  • Fenix

    Ground floor

  • dd

    射影几何更好玩。
    某些经典定理用常规方法需要证一页纸,用射影几何的方法两句话就完了,给人一种“你作弊!”的感觉。

    回复:嗯,之前有接触过,过段时间打算开始系统研究射影几何

  • dd

    顺便问一下,你目前用什么软件画这类图形?我都用GeoGebra。

    回复:几何画板

  • _gXX

    -.- 差点看成九点圆了…

  • yang

    数学一直一窍不通偏偏分数很高的人路过

    回复:我恰恰相反,数学兴趣浓厚,偏偏考试分数巨低

  • flowsky

    呵呵,我给出另一种证法:
    首先∠QHM=∠QAC=∠BAC=∠PHD
    设过P,H,Q的圆和BC交于M’
    所以有PM’==M’Q
    延长PM’交QC于S
    有PM’==M’S
    有BPM’相似于CSM’
    所以有BM’==CM’
    所以M’就是BC的中点

  • ziyuang

    我也来。
    取AC中点E,连EM交AD于Q’,则有∠MQ’A=∠BAQ’=∠DAC,故有AE=EQ'(=EC),得∠AQ’C=90°,即Q’和Q重合,所以∠MQA=∠BAQ=∠PHD,得证。

  • 消失中

    谁有做2010全国数学竟赛的12题

  • cervelo jersey

    首先∠QHM=∠QAC=∠BAC=∠PHD
    设过P,H,Q的圆和BC交于M’
    所以有PM’==M’Q
    延长PM’交QC于S
    有PM’==M’S
    有BPM’相似于CSM’
    所以有BM’==CM’
    所以M’就是BC的中点

  • Pegasus

    放收藏夹好久了,最近几天才翻出来看..到现在才翻了四成左右..
    很多地方有话能回的,都是看到评论已有类似才不挖坟..
    这次..就挖一次吧..人生能有几回挖….
    说个我惯用的证法..(终于到正题了..)
    记X为AD和圆ABC的交点.由MX垂直BC,对过D的两弦用相交弦定理,都乘个cosADB即可.

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