2008-1-02 12:11| 
21 Comments | 本文内容遵从 北大自主招生的数学考题就只有5道题，考生反映“巨难无比”，考完立马就郁闷了，哇啦哇啦地哭。我收集到的信息不多，得到的消息也没有一一去证实。我把这5道题大致写一下，题目描述可能不准确，但基本意思就是这样。
1. 证明：边长为1的正五边形的对角线长为(1+√5)/2
2. 已知一个六边形AB1CA1BC1，AB1=AC1，CB1=CA1，BA1=BC1，∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明：三角形ABC面积为六边形的一半。
3. 某次球赛实行单循环赛制，规定赢一场得1分，输一场得0分。比赛队伍分为南方和北方，南方比北方多9支球队，且最后南方总分数是北方的9倍。求证：南方某支球队的得分最高。
4. 已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足：
a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3}
证明：max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}
5. 空间解析几何题，涉及到旋转体和光源。题目看了半天都不懂是啥意思，估计原题有附图。哪位有更准确的题目描述麻烦请在下面留言告诉我。 网上找的题目没有“圆周”两个字，怪不得半天不懂是啥意思。
立体直角坐标系xyz，在xy平面上有图形0<=y<=2-x^2，将此图形绕y轴旋转得到一个不透光的几何体V。在点P(1,0,1)处有一点光源，xy平面上有一以原点为圆心的圆，此圆的圆周上被照亮的部分长度为2π，求未被照亮的部分的长度。（感谢dd）
另据了解，清华的数学题题量较大，题目也稍微简单一些。有两道题非常有意思，我也一起写在这里。
证明：任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。
21 条回复
您也随便说几句吧：
sf
只会第一道。。。
我要说不难不知道会不会被人K。。。。
不知道什么时候能看到牛解。
靠,北大自主招生的数学考题和普招什么区别啊?
感觉做不起来了。。想想
orz……有没有答案……
M67大牛你刺激我。。。我今年考清华自主数学就这两道题没做出来
5555555555
感谢M67牛，我收获很大。
只会第四题:
令a1<=a2<=a3,b1<=b2<=b3,a1<=b1
如果a3>b3
那么有:
a1<=b1
a1+a2<b1+b2
a1+a2+a3=b1+b2+b3
此时可证a1^2+a2^2+a3^2<b1^2+b2^2+b3^2矛盾
简单证法可用控制不等式(此时b严格控制a即证)
清华第一道从最长的那条棱去找矛盾所在。
我blog上有这些题。卷子上第5题没有附图。
回复：谢dd牛
to hihi
a1^2 + a2^2 + a3^2 < b1^2 + b2^2 + b3^2
如何证明？
to hayate
(a1,...,an),(b1,...,bn)
如果有
Σai<=Σbi(i=1...n),称b控制a
对于任意凸函数f有Σf(ai)<=Σf(bi)这为控制不等式最基本的定理,可查看相关资料
a1<=b1
a1+a2<b1+b2
a1+a2+a3=b1+b2+b3
引理:x^2+y2>u^2+v^2(x+y=u+v, x-y<u-v)(GH不等式可证)
根据引理(a1+a2=b1+a1+a2-b1, 且a1+a2-b1-b1<a2-a1)
那么a1^2+a2^2+a3^2<=b1^2+(a1+a2-b1)^2+a3^2
只要证(a1+a2-b1)^2+a3^2<b2^2+b3^2即可
根据引理可证(a1+a2-b1+a3=b2+b3, 且b3-b2<a3-(a1+a2-b1))
我用了这篇文章的引用通告地址, 但怎么好像还没显示出来.. 而且.. 这页面的引用通告地址的那个key好像会变呃..
回复：key每小时变一次，因此如果你跨小时引用的话会发生错误
to hihi
非常感谢 尤其是控制不等式的说明
我不是高中生，很多公式都忘了，这道题我也只能想出一个非初等的证明。
to hayate
不客气.
初等证明本质也是控制不等式的本质:
15楼我已经打出来了,就是一个引理:
x^2+y^2>u^2+v^2(x+y=u+v,x-y<u-v))的应用
第四题我班同学有个简单证明
令a1 a2 a3为y=x^3+px^2+qx^1+m的三根
则b1 b2 b3可以是y=x^3+px^2+qx^1+n的三根（三次方程的韦达定理）
两曲线仅仅是上下平移的关系
显然当最小根左移时最大根也左移
M牛，我想知道北大、浙大的自招题到哪里找？一直找不到呢。。
看大牛的blog好多新鲜的东西！！
第一题只要证明 sin18°或cos18°的值就行了
由
sin36°=cos54°
2*sin18°*cos18°=4*cos18°^3-3*cos18°
2*sin18°=4*cos18°^2-3=4*(1-sin18°^2)-3
可得
sin18°=(5^1/2-1)/4
cos18°=(5^1/2+1)/4
于是就能得到 cos36°,cos144°,就能用余弦定理求出对角线的值了