前几天写的等高线模式中，在倒数第二个例子里我们证明了所有的圆内接n边形以正n边形最大。当时我们用到了一个很值得思考的方法：固定其余所有点的位置，只移动其中一个点的位置，那么这个点与左右相邻两点等距时面积才可能达到最大。这就说明圆内接n边形以正n边形最大，否则我可以不断寻找长度不等的邻边，通过一次次地调整不断地趋近我的最终目标。对于一个多变元函数，只有每个变量（在它所对应的单变量函数中）都达到最大时，所有变量才可能同时使函数值达到最大。这种思考方法被称之为“局部变动原理”。《数学与猜想》中提到了局部变动原理的另一个应用──证明n个数的算术平均数大于等于几何平均数。中学教材（至少在我的中学教材里）没有给出这一结论的证明。我自己曾经找到过这一定理的很多种证明，但《数学与猜想》中给出的是我所见到的最简洁、最有趣的证明。
考虑两个数a和b，现在我已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？或许大家都知道，当两个数的和一定时，两数相等时乘积最大。也就是说，问题的答案就是((a+b)/2)^2。证明这个结论很简单，我们可以通过简单的代数运算看出，对于任意的a和b，((a+b)/2)^2不会小于ab。用前面的减去后面的，我们有
((a+b)/2)^2 – ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 – ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到，前者减去后者的差始终非负，并且仅当a=b时差值为0。
下面考虑n个数a1, a2, …, an，现在已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？你也许不知道相关的定理，以前也不曾想过这个问题，但稍加思考你会说，当这n个数都相等时乘积最大。你或许以为你是凭直觉想到了这个结论，但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法。固定其它n-2个数不变，只考虑其中两个数，那么很显然这两个数的和也已经固定了，并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案。而要想让这两个数的积最大，它们必须得相等才行。运用局部变动原理，则只有任两个数都相等，这n个数的乘积才会最大。此时，这n个数的值都等于(a1+a2+…+an)/n，只有这样它们的乘积才可能是最大的，任何其它情况下的a1*a2*…*an都比它小。
仿照上面给出的式子，我们把这个结论写成如下形式：
( (a1+a2+…+an)/n )^n >= a1*a2*…*an
两边同时开n次方，我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
今后我们还将看到这样的例子。
做人要厚道，转贴请注明出处
Sofa?所谓调整法？
这里面也同样有着一点逻辑问题。只要没有指出能在有限次调整内使n个数相等，就不能那么快地说出结论来。
[smile]结论错了 你>=的两边 一边是 积取最大值时的数列 而另一边是积不取最大值的数列 不是一个数列 结论没意义
第一次跟你的博客 但关注已经很久了 终于找到机会冒个泡
welco
这种方法貌似"想当然",
没有以前的证法精辟!!!
这个证明是没错的…不需要有限步,因为对于一个不全相等的,总能找到一个比它大,所以不可能是最大的….
这里面有一个严重的逻辑误区。
设集合A中有元素a，并且一个性质对A中除a外的元素都不可能成立，那么它对a就必须成立吗？只要我们还没有证明A中必须存在一个元素满足这个性质，这种证明就是不完全的。
回复：用集合的观点来看这件事显得更清晰一些。这对于极大极小问题来说是正确的，考虑集合中的元素a，我已经证明所有其它的元素都小于它，那么a一定是集合中的最大值。
重新看了一下 左边是s/n 是同一个数列 [redface]
这个不就是调整法么?[smile]
这样的做法存在逻辑问题的。下面都假设 ai > 0, S> 0：
按照这种调整方法得到的序列A1, A2, A3, … （An是第n次调整得到的数之积）是单减的，并且是有下界（比如0），则一定存在下确界A。
尚存在问题：
1. 是否存在{ai}可以取到这个下确界A？
2. 下确界A是否就是(S/n)^n？
似乎这两个问题不容易回答。
2可以轻松得到结论1。如果1是肯定的，也可以轻松通过反证得到2。估计苏步青的《球与圆》可能会有类似的更加严格的描述，Tsinghua图书馆有。
回复：结论不是通过不断调整得到的。看我在地基那楼的回复
[求助]圆内接五角星的面积取得上极限时五角星的形状如何？求证明
这个怎么证啊
还是不太明白了……不断调整可能有限次调不到最终结果吧……
那个集合的说法也是，怎么说明“所有其它的元素都小于a”的？
调整过程不能覆盖所有情况吧
这就是他们所谓磨光变换吧
记(a1+a2+..an)/n=A
每次把不是A的两个数a,b变成A与A-(a+b) 则 A(A-(a+b))<ab，这样就只需要考虑把剩下n-1个数变为A，规模减小了
是不是可以回答楼上？
ps：Matrix67，您是哪年入大学的？
你并没有证明别的元素都小于a,你只是证明了别的元素都不是最大的,你没有证明这个集合里存在最大值,也没有证明a就是那个最大值.
地核那楼是有点误会你的意思了,但是他提的两个问题都提到了关键点.
这就是数学竞赛里常用的调整法,证明不等式时很常用的.
您好！我想请教下，您知道这条公式计算得出的值代表的含义是什么吗？（（K1+K2+K3+K4+K5+K6+K7）/7+K1*K2*K3*K4*K5*K6*K7）/2
因为我在工作中遇到这条公式，但我不知道他这样可以算出什么，谢谢啦！请各位帮帮忙…
比较少见地，我看一遍就完全理解了。：）
用e^x>=1+x证起来更简单
Matrix67，你说的局部变动原理可能有点问题。
你有一组数，改变其中任一个数都不如这组优，于是你就说这组是最优的，逻辑上有问题。
因为，可能你只改变一个并不能达到最优，你可能需要同时改变好几个才能达到更优的解。
于是，这种方法就是有逻辑错误的，因为并不一定所有解都是可以一个一个改变，每次改变完都变得更优，最后达到最优解的。
除非你说明，在这道题中，下面这个定理成立，我们不妨称作“局部变动条件”，即：
在所有解中，每一个非最优解，均可以通过改变解中的一个参量，来达到更优的解。
只有这个条件成立，我们才能说，局部变动原理可以达到最优解。
这是我的一点想法，不知道说得对不对，希望各位大牛多多指教。
写的不错，不过局部变动法不足够严格，不能作为严格的证明方法，用于理解很好！支持一下你，加油。
证明稍加叙述就变得严谨了:
M = a1+a2+…+an / n
如果a1, a2, … an 不全都等于M, 那么一定有存在一个数大于M, 另一个数小于M,
不失一般性设a1 > M, a2 < M, 调整使得a1‘ = M 且 a1' + a2' = a1 + a2 和不变, 其它数a3, …, an 不动
这样由于|a1' – a2'| a1a2, 由于其它数没变, a1’a2’…an > a1a2…an
如果a2′, a3, …, an 还不都等于M那么一定至少还有一个数大于M, 另一个数小于M, 重复以上步骤, 如此循环直到所有数都等于M
这样只要有不等于M的数都可以重复以上步骤使积变得更大, 证明了M^n是最大值
而以上算法每一步都至少多出一个等于M的数，由于只有有限个数，最后算法肯定能终止, 等到n个等于M的数, 证明了最大值的存在性。
这样是圆满回答了楼上的不严格的疑问
这样只要
It’s going to be end of mіne day, hοwever bеfore end I
аm reading tһіѕ fantastic article tⲟ increase my experience.
mｙ webpage RTP Gacor (Renato)
Thanks for the auspicious writeup. It in truth was once a enjoyment
account it. Glance complicated to more added agreeable from you!
However, how can we be in contact?
Hey There. I found your blog using msn. This is a really
well written article. I’ll be sure to bookmark it and return to read more of your
useful info. Thanks for the post. I will definitely return.
It’s going to be end of mine day, except
before end I am reading this great article to increase my knowledge.
Great post however , I was wondering if you could write a litte more on this topic?
I’d be very grateful if you could elaborate a little bit more.
Appreciate it!
Feel free to surf to my web site – Main Slot Tergacor
What i do not understood is in reality how you
are now not actually a lot more smartly-liked than you may be right now.
You’re very intelligent. You recognize therefore considerably in terms of this matter, made
me in my view believe it from so many varied angles.
Its like men and women are not interested except it’s something to
do with Lady gaga! Your personal stuffs excellent. Always take
care of it up!