2007-11-20 18:10| 
15 Comments | 本文内容遵从 前几天写的等高线模式中，在倒数第二个例子里我们证明了所有的圆内接n边形以正n边形最大。当时我们用到了一个很值得思考的方法：固定其余所有点的位置，只移动其中一个点的位置，那么这个点与左右相邻两点等距时面积才可能达到最大。这就说明圆内接n边形以正n边形最大，否则我可以不断寻找长度不等的邻边，通过一次次地调整不断地趋近我的最终目标。对于一个多变元函数，只有每个变量（在它所对应的单变量函数中）都达到最大时，所有变量才可能同时使函数值达到最大。这种思考方法被称之为“局部变动原理”。《数学与猜想》中提到了局部变动原理的另一个应用──证明n个数的算术平均数大于等于几何平均数。中学教材（至少在我的中学教材里）没有给出这一结论的证明。我自己曾经找到过这一定理的很多种证明，但《数学与猜想》中给出的是我所见到的最简洁、最有趣的证明。
考虑两个数a和b，现在我已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？或许大家都知道，当两个数的和一定时，两数相等时乘积最大。也就是说，问题的答案就是((a+b)/2)^2。证明这个结论很简单，我们可以通过简单的代数运算看出，对于任意的a和b，((a+b)/2)^2不会小于ab。用前面的减去后面的，我们有
((a+b)/2)^2 - ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 - ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到，前者减去后者的差始终非负，并且仅当a=b时差值为0。
下面考虑n个数a1, a2, ..., an，现在已经知道它们的和是S，那么它们的乘积最大是多少？你也许不知道相关的定理，以前也不曾想过这个问题，但稍加思考你会说，当这n个数都相等时乘积最大。你或许以为你是凭直觉想到了这个结论，但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法。固定其它n-2个数不变，只考虑其中两个数，那么很显然这两个数的和也已经固定了，并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案。而要想让这两个数的积最大，它们必须得相等才行。运用局部变动原理，则只有任两个数都相等，这n个数的乘积才会最大。此时，这n个数的值都等于(a1+a2+...+an)/n，只有这样它们的乘积才可能是最大的，任何其它情况下的a1*a2*...*an都比它小。
仿照上面给出的式子，我们把这个结论写成如下形式：
( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an
两边同时开n次方，我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
今后我们还将看到这样的例子。
做人要厚道，转贴请注明出处
15 条回复
您也随便说几句吧：
Sofa?所谓调整法？
这里面也同样有着一点逻辑问题。只要没有指出能在有限次调整内使n个数相等，就不能那么快地说出结论来。
[smile]结论错了 你>=的两边 一边是 积取最大值时的数列 而另一边是积不取最大值的数列 不是一个数列 结论没意义
第一次跟你的博客 但关注已经很久了 终于找到机会冒个泡
welco
这种方法貌似"想当然",
没有以前的证法精辟!!!
这个证明是没错的...不需要有限步,因为对于一个不全相等的,总能找到一个比它大,所以不可能是最大的....
这里面有一个严重的逻辑误区。
设集合A中有元素a，并且一个性质对A中除a外的元素都不可能成立，那么它对a就必须成立吗？只要我们还没有证明A中必须存在一个元素满足这个性质，这种证明就是不完全的。
回复：用集合的观点来看这件事显得更清晰一些。这对于极大极小问题来说是正确的，考虑集合中的元素a，我已经证明所有其它的元素都小于它，那么a一定是集合中的最大值。
重新看了一下 左边是s/n 是同一个数列 [redface]
这个不就是调整法么?[smile]
这样的做法存在逻辑问题的。下面都假设 ai > 0, S> 0：
按照这种调整方法得到的序列A1, A2, A3, ... （An是第n次调整得到的数之积）是单减的，并且是有下界（比如0），则一定存在下确界A。
尚存在问题：
1. 是否存在{ai}可以取到这个下确界A？
2. 下确界A是否就是(S/n)^n？
似乎这两个问题不容易回答。
2可以轻松得到结论1。如果1是肯定的，也可以轻松通过反证得到2。估计苏步青的《球与圆》可能会有类似的更加严格的描述，Tsinghua图书馆有。
回复：结论不是通过不断调整得到的。看我在地基那楼的回复
[求助]圆内接五角星的面积取得上极限时五角星的形状如何？求证明
这个怎么证啊
还是不太明白了……不断调整可能有限次调不到最终结果吧……
那个集合的说法也是，怎么说明“所有其它的元素都小于a”的？
调整过程不能覆盖所有情况吧
这就是他们所谓磨光变换吧
记(a1+a2+..an)/n=A
每次把不是A的两个数a,b变成A与A-(a+b) 则 A(A-(a+b))<ab，这样就只需要考虑把剩下n-1个数变为A，规模减小了
是不是可以回答楼上？
ps：Matrix67，您是哪年入大学的？
你并没有证明别的元素都小于a,你只是证明了别的元素都不是最大的,你没有证明这个集合里存在最大值,也没有证明a就是那个最大值.
地核那楼是有点误会你的意思了,但是他提的两个问题都提到了关键点.
这就是数学竞赛里常用的调整法,证明不等式时很常用的.