2009-11-06 20:16| 
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数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。我惊奇地发现，国内的每一本高数课本上都严格地讲解了微积分基本定理的证明，但几乎没有任何一个课本上讲过积分等于函数下方的图形面积究竟是为什么。事实上，这几乎是显然的，但还是有不少人学完微积分后仍然没有意识到。每当谈到这个问题时，我更愿意首先提出一个非常有启发性的事实——圆的周长是2·pi·r，圆的面积就是pi·r^2，后者的导数正好就是前者。这个现象是很容易理解的，因为圆的半径每增加一点，面积增加的就是周长那么一圈，换句话说面积的变化就等于周长。类似地，如果你能找到一个函数g(x)，它的导数正好就是f(x)，那么当x每增加一点，g(x)就增加了一条小竖线段，显然g(x)就应当是f(x)下方的面积。看清了这一点之后，我们才能欣赏到微积分基本定理真正牛B的地方。原先大家都是用分割求极限的办法来求函数下方的面积，但Leibniz却把面积看作一个可变的整体，用一种办法“一下子”就把它求了出来。有趣的是，这种现在看来如此自然的神奇办法，一千多年来居然没有任何人想到。
数学中有很多直观上看很不可思议的东西。比如，神秘的常数pi就经常出现在一些貌似和它毫无关系的地方，其中最经典的例子莫过于Buffon投针实验。Buffon投针实验是说，假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/pi。很多概率论课本上都会用微积分计算可行范围的方法求解Buffon投针问题，计算过程显得相当麻烦。我一直觉得，这个问题一定有一个异常直观、一目了然的解释，不过我还从来没见到过，自己也没有想到过。今天，我偶然看到了这个网页，猛地一下恍然大悟。
期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝，不管它被弯成了什么形状，扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的，并且这个值是和L成正比的。这是因为，我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成；而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的，那么由期望值的线性关系，整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L，其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi。自然，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi；而由于这根针与平行线要么没有交点，要么就只有一个交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。
Update 1: 有人问到了关于圆的周长与面积关系的普适性问题。当边长增加时，正方形的面积变化应该是两个边长，而不是整个周长——边长增长的过程是线段的其中一个端点的移动过程，不是两个端点同时移动或者与中心的距离增加的过程。因此，正方形的面积x^2和两倍边长之间就有导数关系。这对于等边三角形又不再适用了，是因为等边三角形的面积变化不直接等于一个边长——由于边长增加的方向与面积扩展的方向并不垂直，这个面积变化应该缓于一个边长的扩张，具体地说应该等于√3/2个边长。
Update 2: 网友Wei分享了一个非常不错的网页供大家延伸阅读。他自己写了一篇介绍Buffon投针实验与定宽曲线的日志，相当强大。
sofa
然后再看
嘎！占地！
我记得微积分基本定理那个直观的解释,里就有啊
怎么书名号里面的没有了
《什么是数学》里有
[...] This post was mentioned on Twitter by 赵赵, 阳阳猪的 GR Share. 阳阳猪的 GR Share said: Buffon投针实验：究竟为什么是pi？ http://j.mp/30Ua8V [...]
咦？我记得初中课本上就是这么介绍的啊？
想法很不错~但貌似少了点严格性~感觉还是差点什么
通过针的角度很容易联系到pi。其实可以先假设针都是竖直的，线都是水平的。
关于pi的问题。。。。
[...] 布丰投针问题被称作是第一个几何概型的概率问题，它的神奇在于——能估算出π！布丰（Buffon）投针实验简单说，就是如果假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/π。布丰给出的公式：P = 2L/πD，其中L为针的长度，D为平行线间的距离。对于这个问题普通的证明方法要用到二重积分，十分繁琐。今天看到了一个很巧妙的证明方法。说，布丰给出的公式是从L<=D的情况下推出来的，但其实对于L>D的情况，P就可以看成针与平行线相交次数的平均数。特别值得注意的是，针与平行线相交的概率（P）与针的长度（L）成正比。进一步推广，想象一条长度为L的曲线，通过极限理论可以将其分成无穷多个无限小的线段，那么我们可以算出每一条线段与平行线相交的概率，由于所有线段长的和就是曲线长，那么我们假设这条曲线与平行线相交的期望值就是k*L。想象一种特殊情况，也就是当曲线是圆并且其直径等于平行线间的距离的时候，该圆与平行线永远会有且只有2个交点！也就是说k*L=2，那么我们设该圆直径为1，则k=2/π，正好是我们刚才说的那种特殊情况！ [...]
奇怪，我看过的书本上，就是这么讲的啊——通过一个单位圆来类推。
确实很强大！
http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml
这里解释的比较清楚，而且也把那个链接里关于英国硬币的Puzzle给解释了！
呵呵，sigfpe是Haskell大牛啊，matrix67也玩Haskell吗？
\pi
数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助
深有感触啊！！如果一个玩意我能证明也会用但是无法理解，我会接近抓狂的~比如想象4维超立方体，就是做不到~~TAT
都说只有物理才能真正教会你微积分。物理定理的证明总是把各种形式微分用得淋漓尽致。
【莱布尼茨】的缩写貌似错了
@LS牛：貌似没错
看着看着就糊涂了！！！！
看博主的文章，很过瘾，这个问题这么理解就很透彻了。
国内的每一本高数课本上都严格地讲解了微积分基本定理的证明，但几乎没有任何一个课本上讲过积分等于函数下方的图形面积究竟是为什么。事实上，这几乎是显然的，但还是有不少人学完微积分后仍然没有意识到。
没有意识到什么呢？没有意识到“积分等于函数下方的图形面积”还是“究竟是为什么”？
看不懂啊
好深奥
记得是在Proof from THEBOOK 里的分析篇看到的。
以前一直不知道为什么要放在分析里。。。
用了期望的性质，太NB了
那个网页打不开
MATRIX67牛 真是太NB了。。。 膜拜中。。
MATRIX67牛 真是太NB了。。。 膜拜中。。 最近概率课正好在学这方面的内容！
挺有趣的一个实验!!!
不错，顺便提个小问题，为什么正方形的周长4*a和面积a^2不满足导数关系呢？
不错，顺便一个问题没有想通，为什么正方形的面积a^2和周长4a不满足导数关系呢？
这证明太过瘾了。。。
http://www.gettao.com/bbs/viewthread.php?tid=17593
补个最简单的反例。
正方形面积是a^2，a^2对a的导数是2a，正方形周长不是2a是4a。
http://www.gettao.com/bbs/viewthread.php?tid=17609
简洁、清楚，佩服！
这里应该用R做积分的变量， 如果以正方形的最右侧到最中心点的距离为R的话， 正方形的面积就是 4R^2， 周长是 8R。 (正好符合原文所说)
如果一定要用 L做变量的话， 你的周长是 4l , 你每次的面积增量 就是应该是 周长乘 d(L/2)而不是d(L) ，所以你用L的时候 每次的面积增是正确增量的两倍，所以 你觉得 面积公式是2L^2 .你还得乘一个 1/2 。
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楼层: 34楼 | 2009-11-08 16:20 | zyzyzhangyuan 说：
补个最简单的反例。
正方形面积是a^2，a^2对a的导数是2a，正方形周长不是2a是4a。
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楼层: 31楼 | 2009-11-08 10:08 | thejinchao 说：
不错，顺便一个问题没有想通，为什么正方形的面积a^2和周长4a不满足导数关系呢？
“正方形中心到某边距离”不能做自变量。这个东西你在中心到一个边的垂线的增量是dr，在角的位置怎么办？增量还是dr的话新的形状不是正方形了，如果是根2dr的话那不就扯淡了，增加的小量不均匀还积什么分啊。如果你是把正方形从中线分开，然后往外看左右两个方向的“半边长”增量，那上下两个方向上没有增加过，图形变形了。所以连小量分析的过程都不能完成，后面凑出数来不是因为对，只是因为做对了变量代换而已。
变量代换的过程是这样的。我说一个东西的面积是g（r）=ar^2，周长是f（r）=br，即一个东西的面积总是某个长度量的二次项，周长总是一次项。这个对任何平面图形都没问题。当然对于不同的图形有不同的a和b，图形确定a和b也就确定了。
然后我想说g（r）的导数是f（r）的1倍，那就设r=cx，然后取c=b/2a就行了。
如果我想说g（r）的导数是f（r）的2倍，那就设r=cx，然后取c=b/a就行了。
如果我想说g（r）的导数是f（r）的n倍，那就设r=cx，然后取c=nb/2a就行了。
当然某些n的数值更容易在正多边形里找到对应的几何量。
学统计的向博主的探索精神致敬，呵呵。这个是一个演示动画：
http://animation.yihui.name/prob:buffon_s_needle
[...] 公元1777年，法国科学家D·布丰(D.Buffon 1707～1788)设计了一个巧夺天工的实验：往间距为a的平行线族之间投掷长为L 的针，可以计算出针和平行线相交的概率为： 根据此式，可以得到pi的近似估计值，这的确是一个伟大的、奇妙而划时代的实验，可算是蒙特卡罗模拟中的鼻祖和经典了。在大多数教材上，这个概率都是用积分或二重积分计算得来的，比较繁琐，在matrix67的博客中，我欣慰而惊奇地看到了一种非常简便、直观的解法，感慨了一番，也稍微思考了一番。 期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝，不管它被弯成了什么形状，扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的，并且这个值是和L成正比的。这是因为，我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成；而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的，那么由期望值的线性关系，整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L，其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi。自然，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi；而由于这根针与平行线要么没有交点，要么就只有一个交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。——matrix67 [...]
[...] 公元1777年，法国科学家D·布丰(D.Buffon 1707～1788)设计了一个巧夺天工的实验：往间距为a的平行线族之间投掷长为L 的针，可以计算出针和平行线相交的概率为： 根据此式，可以得到pi的近似估计值，这的确是一个伟大的、奇妙而划时代的实验，可算是蒙特卡罗模拟中的鼻祖和经典了。在大多数教材上，这个概率都是用积分或二重积分计算得来的，比较繁琐，在matrix67的博客中，我欣慰而惊奇地看到了一种非常简便、直观的解法，感慨了一番，也稍微思考了一番。 期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝，不管它被弯成了什么形状，扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的，并且这个值是和L成正比的。这是因为，我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成；而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的，那么由期望值的线性关系，整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L，其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi。自然，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi；而由于这根针与平行线要么没有交点，要么就只有一个交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。——matrix67 [...]
http://cos.name/2009/11/a-brief-talk-on-buffon-throwing-needle-problems/
引用了一下啊……
多看 Numb3rs 这种片还是很有好处的
Numb3rs.S02.E01 里面就提到了 Buffon 投针实验
太强了。。。我以前也对这个结论很困惑。。
LZ真是太NB了。。
今天清华自主招生考这题了。。
我太菜了，看到这题暗爽，不过前面都不会，后面就没心思做了
积分上限函数不就是揭示了积分和导数数的关系吗？怎么能说没有直观的证明，只是学高数的时候大家没真的去理解微积分罢了。微分和积分本身就是神奇的结合。
膜拜了~！！！
[...] 首先是Buffon投针实验。Buffon投针实验说的就是假设在纸上画着距离为a的一组平行线，随机地把长度为l的针扔到纸面上，针与平行线相交的概率。这个可以用几何概型证明，但流于计算，有没有什么简洁的做法呢？答案是有的。 [...]