2009-06-27 19:24| 
35 Comments | 本文内容遵从 暑假我暂时先不回重庆。我加入了一个小学奥数培训机构，7月中旬可能要带一个班，讲十几天的课。永远不要鄙视小学奥数——它的解题思路之精妙是中学数学竞赛所不能相比的。大家还记得在学解方程之前鸡兔同笼问题是怎么做的吗？答案：首先假设所有脑袋都是兔子，你会发现脚脚的个数变多了，这是因为你把其中一些鸡错当成了兔子。每把一只鸡算作一只兔子就会多算两只脚脚，因此小鸡的个数就是脚脚的差值除以2。
看到讲义目录上印着的行程问题、工程问题、盈亏问题、和差倍问题、牛吃草问题等课程标题，以及单位一、线段图、长方形、应用题等小学数学专有名词，我有一种回到了小学时的感觉。不过，现在的小学数学题似乎难多了。前不久我代了一节小学四年级的数学课，就遇到了这么一个问题：
有若干个非0自然数，它们的平均数为11。去掉一个最大数后，平均数变为了10；去掉一个最小数后，平均数变为了12。这些数最多有多少个？
当然，这道题中的数字11并没有任何特殊的地方。我们完全可以把题目扩展为“n个数的平均数为k”，“去掉最大数后平均数减少了1”，“去掉最小数后平均数增加了1”，问n最大是多少。你的答案应该写成一个带k的表达式，给出一个构造该最优解的算法，并证明这个解不能更优了。当然，原题中没有这么问仅仅是因为小学没有“把答案写成关于k的函数”的概念。
网上时不时冒出一个诸如“小学数学题难倒大学生”之类的标题党，也不知是真的还是假的；有些题目明显太简单，有些题又明显不是小学生的题。这次我们来玩儿一个真的：上面这道题确确实实是小学四年级的一道奥数题，你能做出来吗？
首先，不妨反过来想想，n最小可以是多少。显然，一个数肯定不行。当n=2时，显然10,12便是一个解，它是数字个数最少的情况。那么，n再大一点呢？可能有人会脱口而出“10,11,12不就行了呗”，但仔细检查发现其实它并不满足要求。不过，只需要稍稍修改一下，9,11,13就符合要求了。对于n=4的情况，不难找到8,10,12,14这个解。规律渐渐出来了：平均数为11的公差为2的等差数列总是满足要求。但是，我们的数必须是正整数，因此最极端的情况就是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，按这个思路下去已经不能再扩展了。此时，n=11。
当然，这只是按这种构造法所能得到的最优情况。数字个数还能更多吗？我们倾向于认为这已经是最优解了，毕竟“n最大就等于k”这一结论十分美观。不过我们需要证明它。注意到，这一组数的总和为11n，去掉一个最小数后总和变成了12(n-1)，可知最小数等于12-n；但它是一个非0自然数，因此12-n≥1，可知n≤11。
对于我们来说，这个题目倒不难。不过，要想给小学生讲清楚却并不容易。题目中涉及到了“证明”的思想，而多数小学生还没有形成和“证明”相关的概念。
sf?小学的奥数题有的确实非常强悍啊
哈，沙发，先抢了再看！！
我做的就是保证最小数大于0 得出n最大为k
额……列出来一大堆方程，结果没想出来。看完了解答兀然发现答案就在自己列出的方程里面……Orz……
min[a] = k - n + 1
min[a] > 0
k - n + 1 > 0
得n < k + 1，即n <= k
哎……敏捷度不够= =||||
咋不拉我去……当年我也一等奖的……
小学奥数就是很有意思
上了中学之后发现数学竞赛没那么巧妙了
不过接触OI之后发现其中有奥数的精妙.
小学搞奥赛是需要天赋的吧
可惜啊，我没天赋。
这么做没错,但是我个人的感觉是这并不是针对小学生的好讲法.(我也讲过小学奥数，一般说来，任何需要引入字母的讲法都应该谨慎采用。)
我觉得更好的办法是三楼说的,保证最小数大于零.
这里的关键在于,告诉学生在考虑平均数的时候不妨有一种“调整水平线”的思考方式.例如:
它们的平均数为11。去掉一个最大数后，平均数变为了10.
这句话可以理解为，有一堆10，要加上一个很大的数使得平均数升为11。容易理解，无论原来有多少个数，只要加的数足够大，这件事情都是可能的。
另一方面，它们的平均数为11。去掉一个最小数后，平均数变为了12。
这句话可以（反过来）理解为，有一堆12，要加上一个很小的数，使得平均数降为11。显然最极端的情况就是加上0，这对应于11个数的情况。所以答案是11.
最大数+其他数+最小数 平均数为11
最大数+其他数+12 平均数为12
10+其他数+最小数 平均数为10
三列数两两相减，差值明显相同，所以12-最小数=最大数-10
最大数+最小数=22
而且原数列平均数为11，所以可以（不妨）设其他数均为11
则 10+11+11+...+11+最小数 平均数为10
所以最小数越小，11的个数越多
最小数为1时，可以有9个11
所以最多一共有11个数，解毕
喜欢那个鸡兔同笼的问题和木遥同学的解答~
这个能力随着对方程的适应而渐渐消逝了。。。
......小学生解题很容易受知识的限制,.
但这也不一定是坏事...
有时候，小学的数奥题并不一定那么简单- -
其实看一个人数学思想NB不NB，不能用中学和大学奥赛题考他，直接上小学的就行。
木遥 说的有问题啊。如果是11个12加个0，先不说原来所有的数都是非0的，题目中是n个数中去掉一个，所以答案应该包含那个新加的0在内。这么说来，答案应该是12个。
应该这么想：有一堆12，每把一个降为11，新加的那个数就要加1（保证平均数不变），目标是所有的12都降为11时新加的那个数恰好升到11。显然新加的数越小，能拉下来的12就越多。满足要求的最小数是1，它能拉10个12下来，所以答案是10个加上它自己，一共11个数。然后构造一个可能的11个数情况，正文中已经有了。
我这样想的：
几个人分苹果，平均分11个。最少分1个，让其中1个人拿1个苹果出局，最多省下10个苹果给剩下的人，平均多分1个，故剩下最多10个人，总人数最多11人。至于去掉最大数平均值降为10，可以认为别人都拿10个，最多的人拿了10个加上足够一人一个的数量，其实可以有任意多的人，这个条件是多余的。
我并不很赞同地基的话 思维跟不上知识的时候工具就必须了 难道说想了2个小时想出一个“很不错 很简便”的方法就一定比20分钟直接算出来的好么
我不否认巧秒思维的重要性 我也往往去追求这一点 但我觉得为了追求而追求甚至去鄙视那些看上去笨拙而基本的方法是不可取的
所以说我觉得无论小学中学还是大学数学从某种意义上都是没什么变化的 都是去享受做出一道题或者研究出一个方法的快乐
其实做小学题不是这样滴..
需要的是灵感,也较撞..
其实小学数学就是看天赋
但之后接触的解题思想和方法却是等于把这些天赋围在其中
题目不难
只是对于数学的灵性变弱了
你的推导是若干个非0且不相等的自然数，若存在相等的自然数，比如8，11，11，14. 也是符合条件的。当然结果是一样的，11。
按照条件，最小的数一定是 0 < x < 11, 根据条件 -- 去掉以后平均数为12，这说明 （11 - x）个 1 被平均分配到其余的数上，这样就知道最多有 11 个数（ x = 1时）。
我曾经做过几年的奥数培训
进入的原因是因为
当时校长的理念
是从开发学生智力出发的
而最终离开的原因
是是因为学校为了生存
不得不从考试出发
所以，Matrix
你做奥数老师应该没有什么问题
但是 希望能够以培养学生对数学的兴趣出发
不要仅仅告诉他们结果
让他们记住公式
@marvy 楼上... 记住公式就能培养学生对数学的兴趣吗? 我认为gs牛平常积累的这么多有趣的东西足够了.
......有的时候...
我觉得...仅仅介绍一些公式什么的....
知识讲解...什么的..是不够的....
...应该让学生们了解它们的历史...
Links: ..给.小学生讲过OI.....虽然不是MO...
....你还记得那时的你...最初的思路么？~
http://user.qzone.qq.com/251815992/blog/1243416211
http://user.qzone.qq.com/251815992/blog/1228569070
同意楼上
另外，我认为八卦应该包含在历史当中。相关的八卦对兴趣的培养是非常有用的
11n - A = 10(n-1)
11n - B = 12(n-1) ==> B = 12 -n >= 1 ==> n <= 11
假设n=11, 则A=21, B=1。 因为n个数平均数为11，则总合为11*11，
(11*11 - 21(即A)) 恒等于 10*10， (11*11 - 1(即B))恒等于10*12。所以，任何其余9个数只要满足和为11*9且大于等于1小于等于21即可，最简单的一个便是其余9个数均为11。
我想这样小朋友应该比较容易接受//
11.......11,11 幾個11 (1)
10.......10 (2)
12.......12 (3)
(2)與(3)都少一個數,(2)要變成(1)則原數列每個數要多加個1之外還要多加個11.反之,(3)要變成(1)則每個數要貢獻出一個1.也就是說,要有11個12,(3)才會變成(1)....
因此,照理說原數列應該要有12個才對吧
嗯...我搞錯了 忽略不為0的條件了
的確是11個沒錯
没那么复杂吧,去掉最小的一个数这个条件已经足够了,
10(n-1)+max=12(n-1)+min=>2（n-1）=max-min ①
由①得 11n=10（n-1)+max=6max-5min②
②-6*①得a=11-(n-1)=12-n
当a=1时n(max)=11
解毕
你的网站很有意思，呵呵。
才看到这道题，这题我小学的时候遇到过。
跟小学生讲n是没意义的，小学生没有变量的概念。
这道题的正解是画图，话一个长方形，长是数的个数，高是10，面积是所有数的和
去掉最小数就意味着宽度减1，然后把减掉的一条再撕掉最小数那么大的面积贴到上面去，高正好增加了1。因为最小数肯定大于1，那一条的长度肯定小于10，那么原来数的个数肯定小于11
23l语文不好
22楼是什么意思？
不要仅仅告诉他们结果
让他们记住公式
你看他前面的话看不出来？
意思是不要仅仅是告诉结果或者记住公式 意思是 只记公式没用！……
……小学生怎么没有变量的概念……把n换成x 你看有没有……小学没学一元一次方程吗？……
qzstar1985 的解法是看了答案才想出来的，所以有问题～因为不能假设其他数，否则不满足题意