根号2是无理数的又一个精彩证明
icon2 Brain Storm | icon4 2009-01-03 0:01| icon314 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

The American Mathematical Monthly新年第一期中有一段精彩的根号2无理性证明。

假设√2等于p/q，那么对于任意自然数n都有：

(√2)n q = 2n/2 q    当n是偶数时
               2(n-1)/2 p 当n是奇数时

无论哪种情况，(√2)n q都是一个自然数。由二项式定理，对任意大的n都有：

但这显然是不可能的，因为序列(√2 - 1)n q是收敛到0的。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml#proof16
相关文章：五种方法证明根号2是无理数，又一种证明根号2是无理数的方法

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14 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2009-01-03 0:59 | 凌晨海风 说：

    我靠，盯了一宿终于被我抢到一把沙发。果然舒服！

  • 楼层: 板凳 | 2009-01-03 1:12 | 凌晨海风 说：

    貌似任何非平方数都可以这样证明是无理数。

  • 楼层: 地毯 | 2009-01-03 1:52 | irachex 说：

    这个证明很妙...

  • 楼层: 地板 | 2009-01-03 12:53 | daa 说：

    都没了！

  • 楼层: 地下室 | 2009-01-03 14:21 | 笑笑 说：

    精彩啊！！~~

  • 楼层: 地基 | 2009-01-03 16:16 | iceberg 说：

    咦？M67是怎么得到American Mathematical Monthly上的资料的？好像网上订阅要钱的？

  • 楼层: 地壳 | 2009-01-05 13:12 | ZFAUSTK 说：

    反证，这个我原来想到过，不过那时的设法没解出来

  • 楼层: 地幔 | 2009-01-05 17:38 | 核心需求 说：

    没太看明白。

  • 楼层: 地核 | 2009-01-05 20:10 | skyiv 说：

    M67是怎么得到American Mathematical Monthly上的资料的？
    PKU的图书馆应该有？

  • 楼层: 10楼 | 2009-01-05 20:52 | 输送带 说：

    楼主是牛人

  • 楼层: 11楼 | 2009-01-08 17:06 | tankin 说：

    我感觉在假设的地方加上 1 < 2^0.5 < 2 即(1 < P/Q < 2)这样的条件,这样整个论证似乎更加顺应逻辑吧
    证明过程非常之巧妙啊

  • 楼层: 12楼 | 2009-01-08 21:53 | Elphania 说：

    不过MS二项式定理已经比sqrt(2)是无理数高级不少了

  • 楼层: 12a楼 | 2009-01-09 16:10 | macaroniz 说：

    话说初中的时候有个老师给我讲过一个证明无穷的方法。。至今受用
    譬如对于证明0.99……趋近于1
    设x=0.99……，那么有x=x*10-9，所以x=1，这个方法也可以证明其他的数字，譬如0.0000……1

  • 楼层: 14楼 | 2009-10-06 0:00 | Icewolf 说：

    譬如对于证明0.99……趋近于1？
    这个数字精确地等于1.这是一个数，在数轴上是个不动的点，不存在趋近于啥的。

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