Steffen可活动多面体

    大家都知道,三角形具有稳定性。如果你把三根木条钉成一个三角形,则这几根木条是不能活动的。这是因为,根据三角形的SSS全等判定法则,两个三角形的三边长对应相等,则这两个三角形一定全等。但四边形就不是了,用四根一样长的木条钉成一个正方形,握着相对的两个角往两边一拉,正方形就变成菱形了。不知道大家想过没有,类比到三维空间中,多面体的稳定性又是怎样的呢?
    Cauchy定理指出,如果两个凸多面体对应的面全等,那么这两个多面体全等。这告诉我们,任何一个凸多面体一定都是不可活动的。在Cauchy定理中,“凸多面体”这一条件是必需的。如果允许凹的多面体存在,对应面相等但整个多面体不全等的形状可以很轻易地构造出来。例如,想象立方体的某个面中心有一个小金字塔,这个金字塔既可以是向外凸的(就像表面上的一根刺),也可以是向内凹的(表面上的一个坑);这是两个截然不同的多面体,但它们的对应面都是相等的。不过,这与我们的稳定性并没有关系,因为它并不是做连续的变形,而是直接一下就“跳”过来了。
    很长一段时间,人们曾经猜想,不存在可以做出连续变形且保持所有面不变的“可活动多面体”(Flexible Polyhedron)。1978年,Connelly找到了第一个反例。他给出了一个由18个面组成的可活动多面体。


   
    Proofs from THE BOOK的第12章给出了Cauchy定理的一个非常精巧的证明,并在这一章末尾给出了一个更加简单的可活动多面体(上图),它是由Klaus Steffen构造出来的,只含有14个面和9个顶点,现在已经证明是“最简单”的可活动多面体。如果你按图中所标注的比例裁剪一张展开图,拼接成一个多面体的话,你可以捏着它的一条棱拽来拽去的玩。

 
  

    你猜怎么着?我还就真做了一个!我把这个pdf文件打印在了一张稍微硬一点的纸上,然后按图示粘贴成了一个可活动的多面体。标了黑线的地方应该往外折,蓝线则应该往内折。做好后捏在手里玩了一下,嘿,还真他妈的可以动!

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